สมการรูปหัวใจ
เคยสงสัยไหมว่ารูปทรงที่สวยงามและเป็นสัญลักษณ์ของความรักอย่าง “รูปหัวใจ” นั้น จะสามารถถูกอธิบายด้วยสมการทางคณิตศาสตร์ได้อย่างไร?
ผมไปเจอคลิปหนึ่งมาน่าสนใจมาก www.youtube.com/watch?v=ljNoDZfXNJE ในคลิปแสดงให้เห็นว่าเราสามารถสร้างสมการรูปหัวใจขึ้นมาจากรูปทรงพื้นฐานอย่าง วงรี ผ่านการแปลงรูปทรงทางเรขาคณิตเพียง 3 ขั้นตอน
ขั้นตอนที่ 1: จุดเริ่มต้นที่ “วงรี”
จุดเริ่มต้นของเราคือสมการวงรีที่ไม่ซับซ้อน ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0)
$$\frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$$
หรือเมื่อจัดรูปใหม่จะได้เป็น:
$$9x^2 + 25y^2 = 225$$
กราฟของสมการนี้คือวงรีนอนที่สมมาตรตามแกน X และ Y ตามปกติ
ขั้นตอนที่ 2: การหมุน (Rotation)
เพื่อให้ได้รูปทรงที่ใกล้เคียงกับหัวใจ เราจำเป็นต้อง “เอียง” วงรีนี้เสียก่อน โดยจะทำการ หมุนกราฟทวนเข็มนาฬิกาไป 45 องศา ซึ่งเป็นขั้นตอนที่ซับซ้อนและน่าสนใจที่สุด
หลักการคือ เราจะใช้ สูตรการหมุนแกนพิกัด (Rotation of Axes) เพื่อหาว่าสมการเดิม ($9x^2 + 25y^2 = 225$) จะมีหน้าตาเป็นอย่างไรในระบบแกนใหม่ที่หมุนไปแล้ว 45 องศา
สูตรการหมุนแกน: ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเดิม (x, y) กับพิกัดใหม่ (x’, y’) เมื่อหมุนแกนไปเป็นมุม θ คือ: $x = x’ \cos\theta - y’ \sin\theta$ $y = x’ \sin\theta + y’ \cos\theta$
แทนค่ามุม 45°: เรารู้ว่า $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ และ $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ดังนั้น: $x = \frac{\sqrt{2}}{2} (x’ - y’)$ $y = \frac{\sqrt{2}}{2} (x’ + y’)$
แทนค่าลงในสมการวงรี: $9\left( \frac{\sqrt{2}}{2} (x’ - y’) \right)^2 + 25\left( \frac{\sqrt{2}}{2} (x’ + y’) \right)^2 = 225$
จัดรูปสมการ: $9 \left[ \frac{1}{2} ((x’)^2 - 2x’y’ + (y’)^2) \right] + 25 \left[ \frac{1}{2} ((x’)^2 + 2x’y’ + (y’)^2) \right] = 225$
นำ 2 คูณตลอดทั้งสมการเพื่อกำจัดเศษส่วน: $9((x’)^2 - 2x’y’ + (y’)^2) + 25((x’)^2 + 2x’y’ + (y’)^2) = 450$
กระจายและรวมพจน์ที่คล้ายกัน: $(9(x’)^2 + 25(x’)^2) + (-18x’y’ + 50x’y’) + (9(y’)^2 + 25(y’)^2) = 450$ $34(x’)^2 + 32x’y’ + 34(y’)^2 = 450$
ทำให้เป็นรูปอย่างต่ำ โดยหารด้วย 2 ตลอดทั้งสมการ และเปลี่ยน (x’, y’) กลับเป็น (x, y) เราจะได้สมการของวงรีที่หมุนแล้วดังนี้:
$$17x^2 + 16xy + 17y^2 = 225$$
ณ ตอนนี้ กราฟของเราได้กลายเป็นวงรีที่เอียงทำมุมสวยงาม แต่ยังขาดความสมมาตรแบบรูปหัวใจที่ต้องการ ในภาพด้านล่างจะแสดงให้เห็นว่ากราฟฝั่งขวา (เส้นทึบ) คือส่วนที่จะเก็บไว้ ส่วนฝั่งซ้าย (เส้นประ) คือส่วนที่จะเปลี่ยนแปลงในขั้นตอนถัดไป
ขั้นตอนที่ 3: เวทมนตร์ของค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value)
นี่คือขั้นตอนสุดท้ายและเป็นหัวใจสำคัญของการแปลงร่างในครั้งนี้ เราจะสร้างส่วนเว้าด้านบนและปลายแหลมด้านล่างของหัวใจ โดยการ สร้างความสมมาตรเทียบกับแกน Y
เราใช้เทคนิคทางคณิตศาสตร์โดยการแทนที่ตัวแปร x ในสมการด้วย |x| (ค่าสัมบูรณ์ของ x)
จาก: $$17x^2 + 16xy + 17y^2 = 225$$สู่:$$17x^2 - 16|x|y + 17y^2 = 225$$
การเปลี่ยนแปลงเล็กๆ นี้ส่งผลอย่างมหาศาลต่อรูปกราฟ มันคือการ “คัดลอก” กราฟฝั่งขวา (ที่ x เป็นบวก) แล้วนำไป “สะท้อน” เพื่อสร้างกราฟฝั่งซ้ายขึ้นมาใหม่ทั้งหมด ผลลัพธ์ที่ได้คือรูปหัวใจที่สมบูรณ์
